APOSTILA DE ESTATISTICA
PORCENTAGEM
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços,
números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
- A gasolina teve um aumento
de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 - O cliente recebeu um
desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 - Dos jogadores que jogam no
Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
Razão
centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão
centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas
percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto, chegamos a seguinte definição:
|
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa
percentual a um determinado valor.
|
Exemplos:
- Calcular 10% de 300.
- Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
EXERCÍCIOS:
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2)
Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual
a taxa percentual de lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que
aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor,
podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10,
que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos
por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:
|
Acréscimo ou Lucro
|
Fator de Multiplicação
|
|
10%
|
1,10
|
|
15%
|
1,15
|
|
20%
|
1,20
|
|
47%
|
1,47
|
|
67%
|
1,67
|
Exemplo: Aumentando
10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
|
Desconto
|
Fator de Multiplicação
|
|
10%
|
0,90
|
|
25%
|
0,75
|
|
34%
|
0,66
|
|
60%
|
0,40
|
|
90%
|
0,10
|
Exemplo: Descontando
10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00
Exercícios:
Média Aritmética Simples
Dos vários tipos de médias utilizados, o mais
simples e o mais comum é a média aritmética simples.
Dados os números 1200, 1400, 1000 e 1600,
para apurarmos o valor médio artimético deste conjunto, simplesmente o
totalizamos e dividimos o total obtido pela quantidade de valores do conjunto:
Agora preste atenção neste conjunto de números após
o colocarmos em ordem crescente:
{ 1000, 1200, 1400, 1600 }
Observe que se fossemos inserir o valor médio
de 1300 neste conjunto de números ordenados, a sua posição
seria exatamente no meio da sequência, ou seja, seria o valor médio.
Observe ainda está propriedades das médias, que se
o valor médio for inserido ao conjunto de números originais, a média ainda
continuará a mesma:
Digamos que em um concurso você tenha feito três
provas e tenha tirado as seguintes notas: 10, 8 e 3.
Qual foi a sua nota média afinal?
Vejamos:
Como a nota mínima para passar no concurso era a
nota 7, você se sente feliz e aliviado por ter conseguido
alcançá-la.
Média Aritmética Ponderada
Mas foi aí que lhe veio a surpresa! Na última hora
você soube que a nota média seria calculada atribuindo-se um peso diferente a
cada prova. Você fica apreensivo. E agora?!?
Nos bastidores você soube que a primeira prova
teria peso 3, a segunda peso 2 e a terceira teria
peso 5. Vamos aos cálculos:
Que pena meu rapaz! Infelizmente a sua média
de 6,1 não atingiu o valor mínimo de 7.
Epa! Espere um pouco! Você cometeu um erro! Os
pesos não estão na ordem correta! A primeira prova teria peso3, a
segunda peso 5 e a terceira teria peso 2. Vejamos
se houve alguma mudança, parece-me que você ainda tem chances:
Parabéns! Você foi aprovado, afinal de contas a sua
média final até melhorou!
Como você pode perceber, a média aritmética
ponderada possibilita atribuir peso ou importância diferentes a cada
valor. Provavelmente por ser mais importante no processo de seleção, a segunda
nota tinha um peso maior. Por isto os itens com maior peso influenciam mais na
média final que os de menor peso. Veja o exemplo abaixo:
Você percebe que o primeiro valor tem peso 1,
sete vezes menor que o peso do segundo valor que é igual a 7. Por
isto a média final se aproximou muito mais de segundo valor (2), que do
primeiro (10), embora este tenha sido cinco vezes maior que o segundo.
Resumindo, para se apurar a média
aritmética ponderada, primeiramente multiplique cada valor pelo seu
respectivo peso. Some todos os produtos encontrados e divida este total pela
soma dos pesos.
Exercícios :
CONCEITOS FUNDAMENTAIS_____________________________________1
1.1.
INTRODUÇÃO
A
Estatística pode ser encarada como uma ciência ou como um método de estudo.
Duas
concepção para a palavra ESTATÍSTICA:
a) no plural
(estatística), indica qualquer coleção consistente de dados numéricos, reunidos
com a finalidade de fornecer informações acerca de uma atividade qualquer. Pôr
exemplo, as estatística demográficas referem-se as dados numéricos sobre
nascimentos, falecimentos, matrimônios, desquites, etc.
b) no
singular, indica um corpo de técnicas, ou ainda uma metodologia técnica
desenvolvida para a coleta, a classificação, a apresentação, a análise e a
interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para a tomada
de decisões.
Qualquer
ciência experimental não pode prescindir das técnicas proporcionadas pela
Estatística, como pôr exemplo, a Física, a Biologia, a Administração, a
Economia, etc. Todos esses ramos de atividade profissional tem necessidade de
um instrumental que se preocupa com o tratamento quantitativo dos fenômenos de
massa ou coletivos, cuja mensuração e análise requerem um conjunto de
observações de fenômeno ou particulares.
1.2. ESTATÍSTICA
CONCEITO: é a ciência que se preocupa com a
coleta, a organização, descrição (apresentação), análise e interpretação de
dados experimentais e tem como objetivo fundamental o estudo de uma população.
Este
estudo pode ser feito de duas maneiras:
- Investigando todos os
elementos da população ou
- Por amostragem, ou seja,
selecionando alguns elementos da população
DIVISÃO DA
ESTATÍSTICA
- Estatística Descritiva: é aquela que se preocupa com a coleta,
organização, classificação,apresentação, interpretação e analise de dados
referentes ao fenômeno através de gráficos e tabelas além de calcular medidas
que permita descrever o fenômeno.
- Estatística Indutiva (Amostral ou Inferêncial): é a aquela que
partindo de uma amostra, estabelece hipóteses, tira conclusões sobre a
população de origem e que formula previsões fundamentando-se na teoria das
probabilidades. A estatística indutiva cuida da análise e interpretação dos
dados.
O processo de generalização do
método indutivo está associado a uma margem de incerteza. Isto se deve ao fato
de que a conclusão que se pretende obter para o conjunto de todos os indivíduos
analisados quanto a determinadas características comuns baseia-se em uma
parcela do total de observações.
1.3. POPULAÇÃO
CONCEITO: é o conjunto, finito ou infinito,
de indivíduos ou objetos que apresentam em comum determinadas características
definidas, cujo comportamento interessa analisar.
A população é estudada em termos de
observações de características nos indivíduos (animados ou inanimados) que
sejam relevantes para o estudo, e não em termos de pessoas ou objetos em si. O
objetivo é tirar conclusões sobre o fenômeno em estudo, a partir dos dados
observados.
Como em qualquer estudo estatístico
temos em mente estudar uma ou mais características dos elementos de uma
população, é importante definir bem essas características de interesse para que
seja delimitado os elementos que pertencem à população e quais os que não
pertencem.
Exemplos:
1. Estudar os filhos tidos, tipo de moradia, condições de
trabalho, tipo de sanitário. Números de quartos para dormir, estado civil, uso
da terra, tempo de trabalho, local de nascimento, tipo de cultivo, etc., dos
agricultores do Estado do Pará.
População: Todos os agricultores
(proprietários de terra ou não) plantadores das culturas existentes no Estado
do Pará.
Estudar a precipitação
pluviométrica anual (em mm) na cidade de Belém.
População: Conjunto das informações
coletadas pela Estação Pluviométrica, durante o ano.
As alturas dos cidadãos do
Pará constituem uma população ou a população dos pesos desses cidadãos.
Divisão da população
- População Finita: apresenta um número limitado de elementos. É
possível enumerar todos os elementos componentes.
Exemplos:
1. Idade dos universitários do Estado do Pará.
População: Todos os universitários do Estado
do Pará.
- População Infinita: apresenta um número ilimitado de elementos. Não
é possível enumerar todos os elementos componentes.
Entretanto, tal definição existe apenas no campo teórico, uma vez
que, na prática, nunca encontraremos populações com infinitos elementos, mas
sim, populações com grande número de componentes; e nessas circunstâncias, tais
populações são tratadas como se fossem infinitas.
Exemplos:
1. Tipos de bactérias no corpo humano
População: Todas as bactérias existentes no
corpo humano.
2. Comportamento das formigas de certa área
População: Todas as formigas da área em
estudo.
1.4. AMOSTRAGEM
É a coleta das informações de parte da
população, chamada amostra (representada por pela letra “n”), mediante métodos
adequados de seleção destas unidades.
1.5. AMOSTRA
É uma parte (um subconjunto finito) representativa de
uma população selecionada segundo métodos adequados.
O objetivo é fazer inferências, tirar
conclusões sobre populações com base nos resultados da amostra, para isso é
necessário garantir que amostra seja representativa, ou seja, a amostra deve
conter as mesmas características básicas da população, no que diz respeito ao
fenômeno que desejamos pesquisar.
O termo indução é um processo de
raciocínio em que, partindo-se do conhecimento de uma parte, procura-se tirar
conclusões sobre a realidade no todo.
Ao induzir estamos sujeitos a
erros. Entretanto, a Estatística Indutiva, que obtém resultados sobre
populações a partir das amostras, diz qual a precisão dos resultados e com que
probabilidade se pode confiar nas conclusões obtidas.
1.6. CENSO
É o exame completo de toda
população.
Quanto maior a amostra mais
precisas e confiáveis deverão ser as induções feitas sobre a população. Logo,
os resultados mais perfeitos são obtidos pelo Censo. Na prática, esta conclusão
muitas vezes não acontece, pois, o emprego de amostras, com certo rigor
técnico, pode levar a resultados mais confiáveis ou até mesmo melhores do que
os que seriam obtidos através de um Censo.
As razões de se recorrer a amostras
são: menor custo e tempo para levantar dados; melhor investigação dos elementos
observados.
1.7. PARÂMETRO: valor (usualmente desconhecido)
que caracteriza uma população (por exemplo, a média populacional e o
desvio-padrão populacional são parâmetros).
|
População
|
|
|
|
Dúvidas
|
|
x x x x x x x x
|
Parâmetros:
|
Amostra
|
|
Quantas unidades?
|
|
x x x x x x x x
|
Média aritmética
|
x x x x x
|
|
Quais as unidades?
|
|
x x x x x x x x
x x x x x x x x
|
Mediana
Moda
|
x x x x x
x x x x x
|
Estimadores ou Estatísticas:
|
|
|
x x x x x x x x
|
Variância absoluta
|
|
Média aritmética
|
|
|
x x x x x x x x
|
Desvio Padrão
|
|
Mediana
|
|
|
|
Variância relativa
|
|
Moda
|
|
|
|
Coeficiente de Variação
Proporção
|
|
Variância absoluta
Desvio Padrão
|
|
|
|
Total
|
|
Variância relativa
|
|
|
|
|
|
Coeficiente de Variação
|
|
|
|
|
|
Proporção
|
|
|
|
|
|
Total
|
|
1.8. FENÔMENOS
ESTATÍSTICOS
Refere-se a qualquer evento que se
pretende analisar cujo estudo seja possível de aplicação de técnicas da
estatística.
A Estatística dedica-se ao estudo
dos fenômenos de massa, que são resultantes do concurso de um grande número de
causas, total ou parcialmente desconhecidas.
TIPOS DE FENÔMENOS:
Fenômenos
Coletivos ou de Massa
Não podem ser definidos pôr uma
simples observação.
Exemplos: a natalidade, a
mortalidade, a nupcialidade, a idade média dos agricultores do Estado do Pará,
o sexo dos agricultores.
Fenômenos
Individuais
Compõem os fenômenos coletivos.
Exemplos: cada nascimento, cada pessoa que morre, cada agricultor
investigado.
1.9. CARACTERÍSTICAS
É preciso definir qual(is) a(s)
característica(s) de interesse que será(ão) analisada(s).
A característica de interesse pode
ser de natureza qualitativa ou quantitativa.
. ATRIBUTOS: são todas as características de
uma população que não podem ser medidas.
Os indivíduos ou objetos são
colocados em categorias ou tipos e conta-se a freqüência com que ocorrem.
Exemplos: Sexo (masculino e feminino);
estado civil (solteiro, casado, viúvo, etc.); tipo de moradia (madeira,
tijolo), situação do aluno (aprovado, reprovado), religião.
CLASSIFICAÇÃO DOS ATRIBUTOS
1. Dicotomia: quando a classe em que o atributo
é considerado admite apenas duas categorias.
Exemplos: Sexo (masc. e fem.); Existência ou ausência de certo
produto agrícola (existência, ausência), resposta a uma pergunta: (concorda,
não concorda), (sim, não).
2. Classificação
policotômica ou policotomia: quando a classe em que o atributo é considerado admite mais de
duas categorias.
Exemplos: Estado civil (solteiro, casado, viúvo), classe social
(alta, média ou baixa).
. VARIÁVEL: é o conjunto de resultados
possíveis de um fenômeno (ou observação, ou característica).
Para os fenômenos:
- sexo - dois resultados possíveis:
masculino e feminino; (não pode ser medida: é um atributo)
- número de
filhos tidos de um grupo de casais - resultados possíveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n;
- peso de pessoas
adultas - resultados
possíveis: 60 kg, 59,3 kg, 75,3 kg, 65,3 kg, ...; pode tomar um infinito número
de valores num certo intervalo.
TIPOS DE VARIÁVEIS
1. Variável
Qualitativa: quando seus valores
são expressos pôr atributos ou qualidade.
Exemplos:
. População: Estudantes universitários do
Estado do Pará.
Variáveis: sexo, profissão, escolaridade,
religião, meio onde vivem (rural, urbano).
. População: População dos bairros periféricos do município de Belém
Variáveis: tipo de casa, existência de água
encanada (sim, não), bairro de origem.
Variáveis qualitativas que não são ordenáveis recebem o nome de nominais.
Exemplo: religião, sexo, raça, cor.
Raça do Paraense - 2001
|
Raça
|
Frequência
|
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Branca
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|
|
Negra
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|
|
Parda
|
|
|
Outra
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|
|
Total
|
|
Fonte: Fictícia
Variáveis qualitativas que são ordenáveis recebem o nome de ordinais.
Exemplo: nível de instrução, classe social.
Classe social do Paraense - 2001
|
Classe
social
|
Frequência
|
|
Classe A
|
|
|
Classe B
|
|
|
Classe C
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|
|
Classe D
|
|
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Total
|
|
Fonte: Fictícia
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